Détermination de l'expression d'une fonction

On considère une fonction `f` définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) dont la courbe représentative `\mathcal{C}` est donnée ci-dessous.

Les points \(\text{A}(-2~;-3)\) et \(\text{B}(0~;-2)\) appartiennent à la courbe `\mathcal{C}` et la tangente à la courbe `\mathcal{C}` en `\text{A}` est horizontale.

1. Donner les valeurs de \(f(-2)\) et `f(0)` .

2. Déterminer graphiquement \(f'(-2)\) .

3. On admet que la fonction `f` est une fonction polynôme du second degré définie sur \(\mathbb{R}\) par `f(x)=ax^2+bx+c` où `a` , `b` et `c` sont trois réels à déterminer.

    a. En utilisant la valeur de `f(0)` trouvée dans la question 1, déterminer la valeur de `c` .

    b. Déterminer la dérivée  \(f'\) de la fonction `f` .

    c. À l'aide des valeurs de \(f(-2)\) et \(f'(-2)\) , démontrer que les réels `a` et `b` vérifient le système suivant :  \(\begin{cases} 4a-2b=-1 \\ -4a+b=0\\ \end{cases}\) .

    d. En déduire les valeurs des coefficients `a` et `b` en résolvant le système précédent.